確かに就職した場合は、何もしなくても国民年金の資格を喪失するというか、第１号被保険者から第２号被保険者への切り替えが自動的に行われます。しかし、場合によっては就職した月の分の国民年金の納付書がタイミングの問題で送られてきてしまうことがありますが支払う必要はありません。

ただ、、年金上は良くても健康保険上はきちんと手続きをしないと二重加入という事態になりかねません。
もし、相談者が再就職するまでの間、国民健康保険に加入していたのなら、新しい就職先で交付してもらった健康保険証を持って市町村役場に手続きする必要がありますし、父親等の健康保険の扶養に入っていたのでしたら、父親の会社へ手続きする必要があります。